Geometria 2025/2026

Capitolo 1: SPAZI VETTORIALI

1.1 Definizione di spazio vettoriale e proprieta' di calcolo. 1.2
Esempi: gli spazi numerici, gli spazi di matrici, gli spazi
geometrici, lo spazio dei polinomi. 1.3 Nozione di sottospazio,
sottospazio generato, sistema di generatori. 1.4 Sistemi
linearmente indipendenti e sistemi linearmente dipendenti. 1.5 Il
Lemma di Steinitz. Base e dimensione di uno spazio vettoriale. 1.6
Intersezione e unione di sottospazi, formula di Grassmann.

Capitolo 2: MATRICI

2.1 Matrici diagonali, simmetriche, triangolari. Trasposta di una
matrice. Prodotto punto di vettori. Prodotto tra matrici. 2.2
L'algebra delle matrici quadrate. Generalita' sull'inversa e
sulla trasposta di una matrice. 2.3 Operazioni e matrici
elementari. Matrici a scala. L'algoritmo di Gauss. 2.4 Rango di
una matrice. Teorema del rango. Calcolo del rango tramite le
operazioni elementari. 2.5 Determinante: sviluppo di Laplace,
proprieta' e calcolo tramite le operazioni elementari. 2.6
Calcolo del rango tramite i determinanti: minore fondamentale di
una matrice. Il Teorema degli Orlati. 2.7 Calcolo esplicito
dell'inversa di una matrice: l'aggiunta classica e l'Algoritmo di
Gauss - Jordan.

Capitolo 3: SISTEMI LINEARI

3.1 Generalita' sui sistemi lineari e notazione matriciale. 3.2
Il Teorema e la Regola di Cramer. 3.3 Sistemi lineari compatibili
ed il Teorema di Rouche'-Capelli. 3.4 Sistemi equivalenti,
operazioni elementari su un sistema lineare. 3.5 Variabili libere
e rappresentazione parametrica delle soluzioni di un sistema
lineare. 3.6 Sistemi lineari omogenei: rappresentazione
parametrica e cartesiana di un sottospazio. 3.7 Sistema lineare
omogeneo associato.

Capitolo 4: APPLICAZIONI LINEARI

4.1 Coordinate in uno spazio vettoriale. L'applicazione delle coordinate. 4.2 Applicazioni lineari. Matrice rappresentativa di un'applicazione lineare. Matrice del
cambiamento delle coordinate. Costruzione di applicazioni lineari.
Corrispondenza tra applicazioni lineari e matrici. 4.3 Struttura
di un'applicazione lineare: nucleo e immagine. Il teorema della dimensione. 4.4 L'algebra degli endomorfismi. Sostituzione in un polinomio. La relazione di similitudine tra matrici. 4.5
Autovalori ed autovettori per un endomorfismo. Il polinomio
caratteristico. Autospazi. Algoritmo per la diagonalizzazione di
una matrice.

Capitolo 5: LA FORMA CANONICA DI UN OPERATORE LINEARE

5.1 Generalita' sui polinomi. Teorema fondamentale dell'Algebra.
5.2 Matrici a blocchi e proprieta' generali. Sottospazi invarianti
di un operatore e matrici a blocchi. 5.3 Blocchi di Jordan.
Stringhe. Il teorema di Jordan sulla forma canonica di un
operatore. Operatori nilpotenti. Calcolo esplicito di una base a
stringhe per un operatore. Calcolo della forma canonica senza
conoscere una base a stringhe. 5.4 Polinomio minimo. Il teorema di
Cayley-Hamilton. Equazioni nell'algebra delle matrici.

Capitolo 6: FORME QUADRATICHE

6.1 Forme bilineari simmetriche. Matrici simmetriche. Forme
quadratiche. Matrice di Gram. Matrici congruenti. 6.2 L'algoritmo di
Gauss-Lagrange. Basi ortogonali in uno spazio pseudoeuclideo. Legge
di inerzia: indice, segnatura e rango di una matrice simmetrica. 6.3
Forma canonica rispetto alla congruenza. Forme definite,
semidefinite ed indefinite. Criterio dei minori principali. Il
criterio di Jacobi. 6.4 Spazi euclidei. Norma in uno spazio
euclideo. Diseguaglianza di Cauchy-Schwarz. Proprieta' della norma
euclidea. Basi ortonormali e matrici ortogonali. Procedimento di
ortogonalizzazione di Gram-Schmidt. 6.5 Coefficiente di Fourier.
Proiezione ortogonale su un sottospazio. Complemento ortogonale di
un sottospazio. Teorema degli Assi Principali e Teorema spettrale.

Capitolo 7: GEOMETRIA AFFINE ED EUCLIDEA NEL PIANO E NELLO SPAZIO.

7.1 Rette e piani nello spazio. 7.2 Prodotto scalare. Angolo.
Prodotto vettoriale. Area di un triangolo. 7.3 Posizioni reciproche
di rette e piani, parallelismo e perpendicolarita'. 7.4 Coniche e
quadriche.

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Capitolo 1: SPAZI VETTORIALI

1.1 Definizione di spazio vettoriale e proprieta' di calcolo (tre ore circa). 1.2
Esempi: gli spazi numerici, gli spazi di matrici, gli spazi
geometrici, lo spazio dei polinomi (tre ore circa). 1.3 Nozione di sottospazio,
sottospazio generato, sistema di generatori (tre ore circa). 1.4 Sistemi
linearmente indipendenti e sistemi linearmente dipendenti (tre ore circa). 1.5 Il
Lemma di Steinitz. Base e dimensione di uno spazio vettoriale (tre ore circa). 1.6
Intersezione e unione di sottospazi, formula di Grassmann (tre ore circa).

Capitolo 2: MATRICI

2.1 Matrici diagonali, simmetriche, triangolari. Trasposta di una
matrice. Prodotto punto di vettori. Prodotto tra matrici (tre ore circa). 2.2
L'algebra delle matrici quadrate. Generalita' sull'inversa e
sulla trasposta di una matrice (tre ore circa). 2.3 Operazioni e matrici
elementari. Matrici a scala. L'algoritmo di Gauss (tre ore circa). 2.4 Rango di
una matrice. Teorema del rango. Calcolo del rango tramite le
operazioni elementari (tre ore circa). 2.5 Determinante: sviluppo di Laplace,
proprieta' e calcolo tramite le operazioni elementari (tre ore circa). 2.6
Calcolo del rango tramite i determinanti: minore fondamentale di
una matrice. Il Teorema degli Orlati (tre ore circa). 2.7 Calcolo esplicito
dell'inversa di una matrice: l'aggiunta classica e l'Algoritmo di
Gauss - Jordan (tre ore circa).

Capitolo 3: SISTEMI LINEARI

3.1 Generalita' sui sistemi lineari e notazione matriciale (tre ore circa). 3.2
Il Teorema e la Regola di Cramer (tre ore circa). 3.3 Sistemi lineari compatibili
ed il Teorema di Rouche'-Capelli (tre ore circa). 3.4 Sistemi equivalenti,
operazioni elementari su un sistema lineare (tre ore circa). 3.5 Variabili libere
e rappresentazione parametrica delle soluzioni di un sistema
lineare (tre ore circa). 3.6 Sistemi lineari omogenei: rappresentazione
parametrica e cartesiana di un sottospazio (tre ore circa). 3.7 Sistema lineare
omogeneo associato (tre ore circa).

Capitolo 4: APPLICAZIONI LINEARI

4.1 Coordinate in uno spazio vettoriale. L'applicazione delle coordinate (tre ore circa). 4.2 Applicazioni lineari. Matrice rappresentativa di un'applicazione lineare. Matrice del
cambiamento delle coordinate. Costruzione di applicazioni lineari.
Corrispondenza tra applicazioni lineari e matrici (tre ore circa). 4.3 Struttura
di un'applicazione lineare: nucleo e immagine. Il teorema della dimensione (tre ore circa). 4.4 L'algebra degli endomorfismi. Sostituzione in un polinomio. La relazione di similitudine tra matrici (tre ore circa). 4.5
Autovalori ed autovettori per un endomorfismo. Il polinomio
caratteristico. Autospazi. Algoritmo per la diagonalizzazione di
una matrice (tre ore circa).



Capitolo 5: FORME QUADRATICHE

5.1 Forme bilineari simmetriche. Matrici simmetriche. Forme
quadratiche. Matrice di Gram. Matrici congruenti (tre ore circa). 5.2 L'algoritmo di
Gauss-Lagrange. Basi ortogonali in uno spazio pseudoeuclideo. Legge
di inerzia: indice, segnatura e rango di una matrice simmetrica (tre ore circa). 5.3
Forma canonica rispetto alla congruenza. Forme definite,
semidefinite ed indefinite. Criterio dei minori principali. Il
criterio di Jacobi (tre ore circa). 5.4 Spazi euclidei. Norma in uno spazio
euclideo. Diseguaglianza di Cauchy-Schwarz. Proprieta' della norma
euclidea. Basi ortonormali e matrici ortogonali. Procedimento di
ortogonalizzazione di Gram-Schmidt(tre ore circa). 5.5 Coefficiente di Fourier.
Proiezione ortogonale su un sottospazio. Complemento ortogonale di
un sottospazio. Operatore aggiunto. La proiezione ortogonale come
operatore autoaggiunto (tre ore circa). 5.6 Teorema degli Assi Principali e conseguenze:
diagonalizzazione di una matrice simmetrica tramite una matrice
ortogonale, il Teorema spettrale, il Teorema di decomposizione
polare (tre ore circa).

Capitolo 6: GEOMETRIA AFFINE ED EUCLIDEA NEL PIANO E NELLO SPAZIO.

6.1 Punti e vettori liberi ordinari. Somma di un punto e di un
vettore. Rette e piani nello spazio. Rappresentazione cartesiana e
parametrica. Posizioni reciproche. Problemi di geometria affine. 6.2
Prodotto scalare geometrico. Prodotto vettoriale. Prodotto misto.
Distanze, angolo, area di un parallelogramma, volume di un
parallelepipedo. Problemi di geometria euclidea.

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Capitolo 1: SPAZI VETTORIALI
1.1 Definizione di spazio vettoriale e proprieta' di calcolo (tre ore circa). 1.2
Esempi: gli spazi numerici, gli spazi di matrici, gli spazi geometrici, lo spazio dei polinomi (tre ore circa). 1.3 Nozione di sottospazio, sottospazio generato, sistema di generatori (tre ore circa). 1.4 Sistemi linearmente indipendenti e sistemi linearmente dipendenti (tre ore circa). 1.5 Il
Lemma di Steinitz. Base e dimensione di uno spazio vettoriale (tre ore circa). 1.6 Intersezione e unione di sottospazi, formula di Grassmann (tre ore circa).
Capitolo 2: MATRICI
2.1 Matrici diagonali, simmetriche, triangolari. Trasposta di una matrice. Prodotto punto di vettori. Prodotto tra matrici (tre ore circa). 2.2 L'algebra delle matrici quadrate. Generalita' sull'inversa e sulla trasposta di una matrice (tre ore circa). 2.3 Operazioni e matrici elementari. Matrici a scala. L'algoritmo di Gauss (tre ore circa). 2.4 Rango di una matrice. Teorema del rango. Calcolo del rango tramite le operazioni elementari (tre ore circa). 2.5 Determinante: sviluppo di Laplace, proprieta' e calcolo tramite le operazioni elementari (tre ore circa). 2.6 Calcolo del rango tramite i determinanti: minore fondamentale di una matrice. Il Teorema degli Orlati (tre ore circa). 2.7 Calcolo esplicito dell'inversa di una matrice: l'aggiunta classica e l'Algoritmo di Gauss - Jordan (tre ore circa).
Capitolo 3: SISTEMI LINEARI
3.1 Generalita' sui sistemi lineari e notazione matriciale (tre ore circa). 3.2 Il Teorema e la Regola di Cramer (tre ore circa). 3.3 Sistemi lineari compatibili ed il Teorema di Rouche'-Capelli (tre ore circa). 3.4 Sistemi equivalenti, operazioni elementari su un sistema lineare (tre ore circa). 3.5 Variabili libere e rappresentazione parametrica delle soluzioni di un sistema lineare (tre ore circa). 3.6 Sistemi lineari omogenei: rappresentazione parametrica e cartesiana di un sottospazio (tre ore circa). 3.7 Sistema lineare omogeneo associato (tre ore circa).
Capitolo 4: APPLICAZIONI LINEARI
4.1 Coordinate in uno spazio vettoriale. L'applicazione delle coordinate (tre ore circa). 4.2 Applicazioni lineari. Matrice rappresentativa di un'applicazione lineare. Matrice del cambiamento delle coordinate. Costruzione di applicazioni lineari. Corrispondenza tra applicazioni lineari e matrici (tre ore circa). 4.3 Struttura di un'applicazione lineare: nucleo e immagine. Il teorema della dimensione (tre ore circa). 4.4 L'algebra degli endomorfismi. Sostituzione in un polinomio. La relazione di similitudine tra matrici (tre ore circa). 4.5 Autovalori ed autovettori per un endomorfismo. Il polinomio caratteristico. Autospazi. Algoritmo per la diagonalizzazione di una matrice (tre ore circa).
Capitolo 5: FORME QUADRATICHE
5.1 Forme bilineari simmetriche. Matrici simmetriche. Forme quadratiche. Matrice di Gram. Matrici congruenti (tre ore circa). 5.2 L'algoritmo di Gauss-Lagrange. Basi ortogonali in uno spazio pseudoeuclideo. Legge di inerzia: indice, segnatura e rango di una matrice simmetrica (tre ore circa). 5.3 Forma canonica rispetto alla congruenza. Forme definite, semidefinite ed indefinite. Criterio dei minori principali. Il criterio di Jacobi (tre ore circa). 5.4 Spazi euclidei. Norma in uno spazio euclideo. Diseguaglianza di Cauchy-Schwarz. Proprieta' della norma euclidea. Basi ortonormali e matrici ortogonali. Procedimento di ortogonalizzazione di Gram-Schmidt (tre ore circa). 5.5 Coefficiente di Fourier. Proiezione ortogonale su un sottospazio. Complemento ortogonale di un sottospazio. Operatore aggiunto. La proiezione ortogonale come operatore autoaggiunto (tre ore circa). 5.6 Teorema degli Assi Principali e conseguenze: diagonalizzazione di una matrice simmetrica tramite una matrice ortogonale, il Teorema spettrale, il Teorema di decomposizione polare (tre ore circa).

Capitolo 6: GEOMETRIA AFFINE ED EUCLIDEA NEL PIANO E NELLO SPAZIO.
6.1 Punti e vettori liberi ordinari. Somma di un punto e di un vettore. Rette e piani nello spazio. Rappresentazione cartesiana e parametrica. Posizioni reciproche. Problemi di geometria affine. 6.2 Prodotto scalare geometrico. Prodotto vettoriale. Prodotto misto. Distanze, angolo, area di un parallelogramma, volume di un parallelepipedo. Problemi di geometria euclidea.

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Fonte: GOMP