Algebra Commutativa 2026/2027

Il programma comprende i seguenti argomenti, che saranno svolti (orientativamente) nell'ordine in cui qui di seguito sono elencati. Saranno possibili alcune variazioni in corso d'opera, anche in funzione degli interessi di coloro che frequenteranno il corso.

FONDAMENTI di TEORIA degli ANELLI (commutativi unitari):
- richiami di teoria degli anelli: anelli (commutativi unitari), ideali, quozienti, morfismi, Teorema Fondamentale di Omomorfismo, Teoremi di Isomorfismo, prodotti diretti;
- operazioni sugli ideali, ideali massimali, radicale di Jacobson, radicale nilpotente; anelli locali, anelli semilocali; ideali primi, dimensione di Krull di un anello;
- estensione e contrazione di ideali tramite un morfismo.

MODULI (su anelli commutativi unitari):
- moduli, sottomoduli, quozienti, morfismi; Teorema Fondamentale di Omomorfismo, Teoremi di Isomorfismo; prodotti diretti e somme dirette; successioni esatte, moduli di morfismi, modulo duale;
- moduli liberi, basi di un modulo; i moduli su un campo sono tutti liberi, dimensione di un modulo su un campo; rango di un modulo libero; Lemma di Nakayama;
- elementi di torsione; sottomodulo di torsione (su un dominio);
- prodotto tensoriale tra moduli; cambiamenti di anello di base, restrizione ed estensione di scalari; anelli e moduli di frazioni; algebre su un anello.

NOETHERIANITA` e ARTINIANITA`:
- condizioni sulle catene per moduli e anelli, noetherianità e artinianità, serie di composizione, lunghezza di un anello;
- anelli notheriani e anelli artiniani, proprietà fondamentali; Teorema della Base di Hilbert, Teorema degli Zeri di Hilbert; decomposizione primaria degli ideali in un anello noetheriano; caratterizzazione degli anelli artiniani; teorema di struttura per gli anelli artiniani.

MODULI su DOMINI a IDEALI PRINCIPALI (=DIP):
- moduli liberi su un DIP, e loro sottomoduli;
- esponenti e ordini per un modulo e i suoi elementi; elementi indipendenti;
- p-(sotto)moduli, decomposizione di un modulo finitamente generato (=f.g.) in somma diretta di parte libera e p-sottomoduli;
- decomposizione ciclica di un modulo f.g. tramite parte libera e divisori elementari; decomposizione ciclica di un modulo f.g. tramite parte libera e invarianti; relazione tra le due decomposizioni cicliche;
- applicazione allo studio dei gruppi abeliani e delle forme canoniche di matrici.

SPETTRO PRIMO di un ANELLO:
- lo spettro primo di un anello, topologia di Zariski; funtorialità dello spettro primo;
- relazioni tra proprietà algebriche di un anello e proprietà topologiche del suo spettro primo;
- spazi topologici noetheriani, caratterizzazione degli anelli il cui spettro primo sia noetheriano.

Riguardo alla scansione temporale in cui i vari argomenti verranno proposti durante il corso, si precisa che, per ogni argomento, il numero di ore dedicato sarà regolarmente dosato in funzione delle competenze pregresse e degli interessi specifici degli studenti effettivamente presenti al corso.

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Fonte: GOMP