Geometria 2025/2026

Richiami di geometria, somma di vettori e moltiplicazione per scalari in Rn in ter- mini di coordinate e in termini geometrici (regola del parallelogramma). equazioni parametriche e cartesiane di rette e piani, nozioni di sottospazio vettoriale e di sot- tospazio affine in Rn, (inteso come un traslato di un sottospazio vettoriale). Vet- tori linearmente indipendenti e generatori di un sottospazio vettoriale in Rn, basi di un sottospazio vettoriale e nozione di dimensione. Teorema che afferma che un insieme di generatori di un sottospazio vettoriale contiene una base, e che un in- sieme di vettori linearmente indipendenti e’ contenuto in una base. Prodotto scalare canonico in Rn, disuguaglianza di Schwartz , nozione di lunghezza di un vettore e angolo tra due vettori, equazione parametrica di retta passante per due punti e piano passante per tre punti. La nozione di matrice, matrice trasposta matrice identica, matrice inversa. Matrici a scala e risoluzione di sistemi lineari con matrici a scala. Metodo di eliminazione di Gauss per ridurre un sistema qualunque ad un sistema a scala. Equazioni parametriche dello spazio delle soluzioni di un sistema compatibile. Equazioni cartesiane di sottospazi affini di Rn e passaggio da equazioni cartesiane a parametriche. Nozione di rango di una matrice, rango per righe uguale a rango per colonne, estrazione di una base da un insieme di generatori, estensione di un insieme di vettori linearmente indipendenti in Rn ad una base di Rn, il tutto con il metodo di Gauss. Passaggio da equazioni parametriche a equazioni cartesiane. Teorema di Rouche’-Capelli, posizione reciproca di rette nello spazio, (parallelismo, incidenza, rette sghembe ecc...) e come determinarle in termini delle loro equazioni. Calcolo della matrice inversa con il metodo di Gauss, determinante e sue principali proprieta’ (senza dimostrazione). Calcolo del determinante con la regola di Laplace. Teorema di Cramer, calcolo dell inversa con i determinanti, teorema degli orlati. Somma e somma diretta di sottospazi vettoriali in Rn, formula di Grasmann. Somma diretta ortogonale di sottospazi di Rn, retta ortogonale a retta in R2 ed a piano in R3. Dis- tanza punto punto, punto retta, punto piano, retta retta e retta piano. Prodotto vettoriale in R3, calcolo del prodotto vettoriale in coordinate. Ortogonalizzazione di Gram-Schmidt, calcolo del volume di un poliedro con i determinanti. Spazi vetto- riali astratti, esempi, generatori, basi, dimensioni ed estensioni al caso astratto dei corrispondenti teoremi in Rn. Applicazioni lineari tra spazi vettoriali, isomorfismo lineare di uno spazio vettoriale con Rn dato da una base. Matrice associata ad una
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applicazione lineare data una base in partenza ed una base in arrivo. Cambiamenti di base. Nucleo e immagine di una applicazione lineare, matrici diagonalizzabili, molteplicita’ algebrica e geometrica. Diagonalizzabilita’ sui reali di matrici simmet- riche reali mediante matrici ortogonali (senza dimostrazione). Coniche e quadriche, definizione, forme canoniche metriche, riduzione di una conica e quadrica qualunque ad una forma canonica metrica.

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Fonte: GOMP