Geometria 5 2025/2026

Gli argomenti del corso sono una naturale prosecuzione dei corsi di Analisi Matematica e Geometria del primo e secondo anno. Si tratta di un’'introduzione alla topologia differenziale per mezzo della coomologia delle forme differenziali (coomologia di De Rham).

Argomenti del corso:
Algebra esterna su uno spazio vettoriale (4 ore). Rudimenti di categorie e funtori. L’algebra esterna come funtore (3 ore). Algebra delle forme differenziali su un aperto di R(n), proprietà funtoriali, coomologia di De Rham (4 ore). Rudimenti di algebra omologica: mappe di complessi, coomologia, successione esatta lunga, omotopia di complessi (3 ore). Lemma di Poincaré, successione esatta di Mayer-Vietoris, omotopia, esempi di calcolo di coomologia (4 ore). Partizione differenziabile dell’unità (2 ore). Teoremi fondamentali sulla topologia euclidea in R(n) e applicazioni: teorema del punto fisso di Brower, campi vettoriali su sfere, teorema di separazione di Jordan-Brower, teoremi di invarianza della dimensione e del dominio (4 ore).
Varietà differenziabili, definizione ed esempi. Funzioni differenziabili tra varietà (3 ore). Spazio tangente e base standard indotta da una carta, differenziale di una funzione (2 ore).
Forme differenziali e coomologia di De Rham su varietà differenziabili (2 ore). Orientazione, orientabilità, strutture riemanniane e forma di volume, esempi (2 ore). Sottovarietà differenziabili, embedding di una varietà differenziabile in R(m+k), intorno tubolare e applicazioni all'omotopia di funzioni continue tra varietà e all'invarianza omotopica della coomologia di De Rham (5 ore). Integrazione di forme differenziali, teorema di Stokes, applicazioni alla coomologia di varietà compatte (4 ore). Teoria del grado, indice di un campo vettoriale (2 ore) teorema di Poincaré-Hopf (4 ore). Tempo permettendo: Dualità di Poincaré.

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Fonte: GOMP